少广卷第四

合集:《九章算术》

少广术曰：置全步及分母子，以最下分母遍乘诸分子及全步，各以其母除其子，置之于左。命通分者，又以分母遍乘诸分子，及已通者皆通而同之，并之为法。置所求步数，以全步积分乘之为实。实如法而一，得从步。



〔一〕今有田广一步半。求田一亩，问从几何？



荅曰：一百六十步。



术曰：下有半，是二分之一。以一为二，半为一，并之得三，为法。置田二百四十步，亦以一为二乘之，为实。实如法得从步。



〔二〕今有田广一步半、三分步之一。求田一亩，问从几何？



荅曰：一百三十步、一十一分步之一十。



术曰：下有三分，以一为六，半为三，三分之一为二，并之得一十一为法。置田二百四十步，亦以一为六乘之，为实。实如法得从步。



〔三〕今有田广一步半、三分步之一、四分步之一。求田一亩，问从几何？



荅曰：一百一十五步、五分步之一。



术曰：下有四分，以一为一十二，半为六，三分之一为四，四分之一为三，并之得二十五，以为法。置田二百四十步，亦以一为一十二乘之，为实。实如法而一，得从步。



〔四〕今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一。求田一亩，问从几何？



荅曰：一百五步、一百三十七分步之一十五。



术曰：下有五分，以一为六十，半为三十，三分之一为二十，四分之一为一十五，五分之一为一十二，并之得一百三十七，以为法。置田二百四十步，亦以一为六十乘之，为实。实如法得从步。



〔五〕今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一。求田一亩，问从几何？



荅曰：九十七步、四十九分步之四十七。



术曰：下有六分，以一为一百二十，半为六十，三分之一为四十，四分之一为三十，五分之一为二十四，六分之一为二十，并之得二百九十四以为法。置田二百四十步，亦以一为一百二十乘之，为实。实如法得从步。



〔六〕今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一。求田一亩，问从几何？



荅曰：九十二步、一百二十一分步之六十八。



术曰：下有七分，以一为四百二十，半为二百一十，三分之一为一百四十，四分之一为一百五，五分之一为八十四，六分之一为七十，七分之一为六十，并之得一千八十九，以为法。置田二百四十步，亦以一为四百二十乘之，为实。实如法得从步。



〔七〕今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一。求田一亩，问从几何？



荅曰：八十八步、七百六十一分步之二百三十二。



术曰：下有八分，以一为八百四十，半为四百二十，三分之一为二百八十，四分之一为二百一十，五分之一为一百六十八，六分之一为一百四十，七分之一为一百二十，八分之一为一百五，并之得二千二百八十三，以为法。置田二百四十步，亦以一为八百四十乘之，为实。实如法得从步。



〔八〕今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一。求田一亩，问从几何？



荅曰：八十四步、七千一百二十九分步之五千九百六十四。



术曰：下有九分，以一为二千五百二十，半为一千二百六十，三分之一为八百四十，四分之一为六百三十，五分之一为五百四，六分之一为四百二十，七分之一为三百六十，八分之一为三百一十五，九分之一为二百八十，并之得七千一百二十九，以为法。置田二百四十步，亦以一为二千五百二十乘之，为实。实如法得从步。



〔九〕今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一。求田一亩，问从几何？



荅曰：八十一步、七千三百八十一分步之六千九百三十九。



术曰：下有一十分，以一为二千五百二十，半为一千二百六十，三分之一为八百四十，四分之一为六百三十，五分之一为五百四，六分之一为四百二十，七分之一为三百六十，八分之一为三百一十五，九分之一为二百八十，十分之一为二百五十二，并之得七千三百八十一，以为法。置田二百四十步，亦以一为二千五百二十乘之，为实。实如法得从步。



〔一０〕今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一、十一分步之一。求田一亩，问从几何？



荅曰：七十九步、八万三千七百一十一分步之三万九千六百三十一。



术曰：下有一十一分，以一为二万七千七百二十，半为一万三千八百六十，三分之一为九千二百四十，四分之一为六千九百三十，五分之一为五千五百四十四，六分之一为四千六百二十，七分之一为三千九百六十，八分之一为三千四百六十五，九分之一为三千八十，一十分之一为二千七百七十二，一十一分之一为二千五百二十，并之得八万三千七百一十一，以为法。置田二百四十步，亦以一为二万七千七百二十乘之，为实。实如法得从步。



〔一一〕今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一、十一分步之一、十二分步之一。求田一亩，问从几何？



荅曰：七十七步、八万六千二十一分步之二万九千一百八十三。



术曰：下有一十二分，以一为八万三千一百六十，半为四万一千五百八十，三分之一为二万七千七百二十，四分之一为二万七百九十，五分之一为一万六千六百三十二，六分之一为一万三千八百六十，七分之一为一万一千八百八十，八分之一为一万三百九十五，九分之一为九千二百四十，一十分之一为八千三百一十六，十一分之一为七千五百六十，十二分之一为六千九百三十，并之得二十五万八千六十三，以为法。置田二百四十步，亦以一为八万三千一百六十乘之，为实。实如法得从步。



〔一二〕今有积五万五千二百二十五步。问为方几何？



荅曰：二百三十五步。



〔一三〕又有积二万五千二百八十一步。问为方几何？



荅曰：一百五十九步。



〔一四〕又有积七万一千八百二十四步。问为方几何？



荅曰：二百六十八步。



〔一五〕又有积五十六万四千七百五十二步、四分步之一。问为方几何？



荅曰：七百五十一步半。



〔一六〕又有积三十九亿七千二百一十五万六百二十五步。问为方几何？



荅曰：六万三千二十五步。



开方术曰：置积为实。借一算步之，超一等。议所得，以一乘所借一算为法，而以除。除已，倍法为定法。其复除。折法而下。复置借算步之如初，以复议一乘之，所得副，以加定法，以除。以所得副从定法。复除折下如前。若开之不尽者为不可开，当以面命之。若实有分者，通分内子为定实。乃开之，讫，开其母报除。若母不可开者，又以母乘定实，乃开之，讫，令如母而一。



〔一七〕今有积一千五百一十八步、四分步之三。问为圆周几何？



荅曰：一百三十五步。



〔一八〕今有积三百步。问为圆周几何？



荅曰：六十步。



开圆术曰：置积步数，以十二乘之，以开方除之，即得周。



〔一九〕今有积一百八十六万八百六十七尺。问为立方几何？



荅曰：一百二十三尺。



〔二０〕今有积一千九百五十三尺、八分尺之一。问为立方几何？



荅曰：一十二尺半。



〔二一〕今有积六万三千四百一尺、五百一十二分尺之四百四十七。问为立方几何？



荅曰：三十九尺、八分尺之七。



〔二二〕又有积一百九十三万七千五百四十一尺、二十七分尺之一十七。问为立方几何？



荅曰：一百二十四尺、太半尺。



开立方术曰：置积为实。借一算步之，超二等。议所得，以再乘所借一算为法，而除之。除已，三之为定法。复除，折而下。以三乘所得数置中行。复借一算置下行。步之，中超一，下超二等。复置议，以一乘中，再乘下，皆副以加定法。以定法除。除已，倍下、并中从定法。复除，折下如前。开之不尽者，亦为不可开。若积有分者，通分内子为定实。定实乃开之，讫，开其母以报除。若母不可开者，又以母再乘定实，乃开之。讫，令如母而一。



〔二三〕今有积四千五百尺。问为立圆径几何？



荅曰：二十尺。



〔二四〕又有积一万六千四百四十八亿六千六百四十三万七千五百尺。问为立圆径几何？



荅曰：一万四千三百尺。



开立圆术曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即丸径。